PEMBUKTIAN ATURAN SINUS COSINUS

ATURAN SINUS DAN COSINUS

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG

Pada awalnya, trigonometri disebut juga ilmu ukur segitiga atau ilmu ukur sudut yang mencoba menyelidiki gerak benda-benda angkasa seperti matarahi, bulan, dan bintang, serta memperkirakan posisinya. Trigononetri berasal dari bahasa Greek, yaitu trigon yang artinya segitiga, dan metran yang artinya ukuran. Trigonometri merupakan sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosins, tangen.

B.     RUMUSAN MASALAH

Adapun rumusan masalah dalam makalah ini:

1.      Bagaimana aturan cosinus dan penjabarannya?

2.      Bagaimna aturan sinus dan penjabarannya?

C.    TUJUAN

Adapun tujuan dari pembahasan makalah ini yaitu:

1.      Bahan bacaan siswa/i.

2.      Bahan pembelajaran atau sumber belajar bagi siswa/i.

3.      Untuk mengetahui bagaimana aturan sinus dan cosinus serta penjabarannya.

BAB II

PEMBAHASAN

1.      

2.      ATURAN COSINUS DAN PENJABARANNYA

Teorema Pythagoras merupakan suatu rumus yang sangat penting dalam geometri. Kita dapat menghitung jarak antara dua titik pada bidang koordinat dengan menggunakan teorema Pythagoras. Kita juga dapat menurunkan persamaan lingkaran dengan menggunan teorema tersebut.

Teorema Pythagoras memang sangat sering digunakan. Akan tetapi penggunaan tersebut dibatasi hanya pada permasalahan yang melibatkan segitiga siku-siku. Teorema Pythagoras tidak berlaku untuk segitiga lancip ataupun segitiga tumpul. Mengapa demikian?

Apabila sisi siku-siku dari segitiga siku-siku dibuat lebih dekat (sudut yang diapitnya semakin kecil) maka sudut siku-sikunya akan menjadi sudut lancip, dan diperoleh c² < a²+ b². Untuk membuat pertidaksamaan ini menjadi suatu persamaan, kita perlu mengurangi a² + b² dengan nilai tertentu.

c² = a² + b² – nilai tertentu

Sebaliknya, apabila sisi siku-sikunya dibuat lebih jauh (sudut yang diapitnya semakin besar) maka sudut siku-sikunya akan menjadi sudut tumpul, dan diperoleh c² > a² + b². Berikut ini persamaan yang terjadi apabila kita menambahkan nilai tertentu pada a² + b².

c² = a² + b² + nilai tertentu

Nilai tertentu tersebut tak lain adalah 2ab ∙ cos C. Rumus hasil modifikasi dari teorema Pythagoras ini disebut aturan cosinus.

Aturan Cosinus

Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b, dan c, serta C adalah sudut di hadapan sisi yang panjangnya c,

c² = a² + b² – 2ab ∙ cos C

Karena nilai cos dari sudut tumpul adalah negatif, maka nilai dari 2ab ∙ cos C juga bernilai negatif. Sehingga pengurangan oleh 2ab ∙ cos C akan sama dengan penjumlahan oleh nilai positif.

Untuk menurunkan aturan cosinus pada segitiga lancip, perhatikan segitiga ABC dengan AD sebagai garis tinggi, yang ditunjukkan oleh gambar di atas. Kita dapat menyebut panjang sisi-sisi di depan sudut A, B, dan C secara berturut-turut adalah a, b, dan c, tingginya adalah t, serta panjang sisi CD sebagai x. Panjang dari sisi BD merupakan hasil pengurangan panjang sisi BC oleh CD, yaitu a – x.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita dapat menulis dua persamaan. Dengan aljabar, kita dapat menjabarkan bentuk (a – x)².

Perhatikan kedua persamaan tersebut memuat x² + t², yang kita tahu sama dengan b² dari persamaan 1. Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2.

Sekarang yang kita butuhkan adalah mengganti x dengan bentuk yang memuat cos C. Dengan menggunakan segitiga ACD, kita dapat menulis persamaan berikut dan menuliskan x dalam bentuk cos C.

Substitusikan persamaan 4 ke persamaan 3, sehingga diperoleh rumus aturan cosinus.

c² = a² + b² – 2ab cos C

Walaupun penurunan aturan cosinus ini dilakukan pada segitiga lancip, aturan ini juga berlaku pada segitiga tumpul. Kita dapat menggunakan aturan cosinus apabila diketahui panjang 3 sisi segitiga atau panjang dua sisi segitiga dan besar sudut yang diapitnya (ss.ss.ss atau ss.sd.ss). 

Aturan Sinus 

Dalam trigonometri, aturan sinus, rumus sinus, atau hukum sinus adalah sebuah persamaan yang memperbandingan panjang sisi-sisi segitiga terhadap sinus sudut-sudutnya. Aturan ini menyatakan bahwa

$${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,}$$

dengan a, b, dan c menyatakan panjang-panjang sisi dari segitiga, dan α, β, dan γ adalah besar sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut (lihat gambar sebagai ilustrasi), sedangkan R adalah radius dari lingkaran luar segitiga. Jika radius lingkaran tidak digunakan, aturan sinus terkadang dinyatakan dalam bentuk

$${\displaystyle {\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.}$$

Aturan sinus berguna untuk menghitung sisi yang belum diketahui dari suatu segitiga apabila besar dua sudut dan panjang satu sisinya diketahui. Ini adalah masalah yang umum terjadi ketika melakukan triangulasi. Rumus ini juga dapat digunakan bila diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang tak diapit kedua sisi tersebut. Dalam kasus ini, data mungkin tidak dapat menghasilkan segitiga yang unik, sehingga rumus dapat memberikan dua nilai yang mungkin untuk sudut yang diapit. Aturan sinus juga dapat dipakai untuk menghitung jari-jari lingkaran luar segitiga.

Aturan sinus adalah salah satu dari dua persamaan trigonometrik yang umum digunakan untuk menentukan besar panjang dan sudut pada segitiga, persamaan lain yang digunakan adalah aturan kosinus.

Aturan sinus dapat diperumum ke dimensi yang lebih tinggi, yakni pada permukaan dengan kurvatur yang bernilai konstan

Pembuktian:

Perhatikan segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berhadapan A, B, dan C. Tarik garis tinggi h dari sudut C ke sisi c sehingga segitiga ABC terbagi menjadi dua segitiga siku-siku.

Dapat diamati bahwa:

${\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}}$ dan${\displaystyle \;\sin B={\frac {h}{a}}}$

Dari persamaan tersebut, dapat diturunkan dua bentuk dari h

${\displaystyle h=b\,\sin A=a\,\sin B}$

sehingga diperoleh

${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}.}$

Memperlakukan garis tinggi dari sudut A dengan cara yang sama, kemudian akan diperoleh:

${\displaystyle {\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}$

BAB III

PENUTUP

A.  KESIMPILAN

Hukum cosinus, atau disebut juga aturan cosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan cosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut. Sedangkan Hukum sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah di udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) A, B and C.

B.  SARAN

Alhamdulillah segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah AWT, atas  rahmatnya dan hidayahnya yang telah memberikan kesempatan untuk kami sehingga kami bisa menulis makalah ini, dan dengan kekurangan-kekurangan yang ada pada penulisan maka dari itu saya mengharap saran dan kritik untuk menuju kepada yang lebih baik.

Penulis menyarankan kepada para pembaca agar lebih baik memahami tentanga penjabaran aturan Cosinus dan Sinus dalam identitas Trigonometri  Ungkapan terimakasih kepada Dosen mata  kuliah Trigonometri sehingga terselesainya tulisan ini. Mudah-mudahan Allah SWT meridhoi apa yang kita kerjakan. Amin. Demikianlah makalah singkat ini kami buat semoga bisa bermanfaat bagi kita semua, namun dalam penulisan ini masih banyak kesalahan, tapi bagaimanapun juga ini adalah langkah awal bagi kami atau pengalaman bagi kami  untuk menulis makalah ini. Dan atas perhatian pembaca kami ucapkan terimakasih dan kami akhiri wassalam

ATURAN SINUS DAN COSINUS LENGKAP BESERTA PEMBUKTIAN SEMOGA BERMANFAAT